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若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的秩和相同的特征多项式.

题目

若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的秩和相同的特征多项式.

相似考题

1.若方阵A与B相似,则它们____。A.有相同的特征值B.有相同的特征向量C.有两两正交的特征向量

2.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则()A、A与B相似B、A≠B，但|A-B|=0C、A=BD、A与B不一定相似，但|A|=|B|

3.设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为－1,2,则|B|=()A、-1B、-2C、1D、2

4.特征多项式相同的矩阵相似。()此题为判断题(对，错)。

更多“若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的秩和相同的特征多项式.”相关问题

  • 第1题：

    n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的()。

    A、充分必要条件;

    B、必要而非充分条件;

    C、充分而非必要条件;

    D、既非充分也非必要条件


    参考答案：C

  • 第2题：

    设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.


    正确答案：
    0

  • 第3题：

    设A是n阶实对称矩阵，则A有n个()特征值.


    参考答案：实

  • 第4题：

    设A,B为N阶矩阵,且A,B的特征值相同,则().

    A.A,B相似于同一个对角矩阵
    B.存在正交阵Q,使得Q^TAQ=B
    C.r(A)=r(B)
    D.以上都不对

    答案：D
    解析：

  • 第5题：

    与n阶单位矩阵E相似的矩阵是

    A.
    B.对角矩阵D（主对角元素不为1）
    C.单位矩阵E
    D.任意n阶矩阵A


    答案：C
    解析：

  • 第6题：

    设A，B为n阶矩阵，考虑以下命题：①若A，B为等价矩阵，则A，B的行向量组等价②若行列式.，则A，B为等价矩阵③若与都只有零解，则A，B为等价矩阵④若A，B为相似矩阵，则与的解空间的维数相同以上命题中正确的是（ ）.

    A.①③
    B.②④
    C.②③
    D.③④

    答案：D
    解析：

  • 第7题：

    设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，.则（ ）.

    A.A与B相似
    B.A与B不等价
    C.A与B有相同的特征值
    D.A与B合同

    答案：D
    解析：

  • 第8题：

    设n阶矩阵A与B等价, 则必须


    答案：D
    解析：

  • 第9题：

    若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a，则A的一特征值为：
    A. a B.-a
    C. 0 D. a-1


    答案：A
    解析：
    解：本题主要考察两个知识点：特征值的求法及行列的运算。

    A的一特征值为a。
    选A。

  • 第10题：

    设A,B为n阶矩阵.
    　　(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1,2,…,n,证明：AB～BA.


    答案：
    解析：

  • 第11题：

    设A是三阶矩阵，已知 ，B与A相似，则B的相似对角形为


    答案：
    解析：

  • 第12题：

    问答题
    试证若n阶矩阵A满足A2－A＝2E，则A一定相似于对角矩阵。

    正确答案：
    设λ是矩阵A的特征值,则矩阵f(A)=A2-A-2E的特征多项式为f(λ)=λ2-λ-2,所以有矩阵A的特征值只可能是2或-1。
    ①当λ=-1是A的特征值,而λ=2不是A的特征值,则有,A-2E,≠0,即(A-2E)可逆。由A2-A-2E=0得(A-2E)(A+E)=0,所以有(A-2E)-1(A-2E)(A+E)=(A-2E)-1·0,即A+E=0,A=-E。因此A相似与对角矩阵-E。
    ②当λ=2是A的特征值,而λ=-1不是A的特征值,同理于①,可得矩阵A相似与对角矩阵2E。
    ③当λ=2和λ=-1都是A的特征值,由(A-2E)(A+E)=0知r(A-2E)+r(A+E)≤n。又r(A-2E)+r(A+E)=r(2E-A)+r(A+E)≥r(2E-A+A+E)=r(3E)=n,所以r(A-2E)+r(A+E)=n,即[n-r(A-2E)]+[n-r(A+E)]=n。故两方程组(A-2E)X(→)=0(→)和(A+E)X(→)=0(→)的基础解系所含解向量的个数之和为n,所以A有n个线性无关的特征向量,故其可相似于对角矩阵。
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为－1,2,则|B|=1。()

    此题为判断题(对，错)。


    参考答案：错误

  • 第14题：

    设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).

    A.二次型xTAx的负惯性指数零

    B.存在n阶矩阵C,使得A=CTC

    C.A没有负特征值

    D.A与单位矩阵合同


    参考答案：

  • 第15题：

    若方阵A与B相似，则有（ ）.

    A.
    B.|A|=|B|：
    C.对于相同的特征值λ，矩阵A与B有相同的特征向量：
    D.A与B均与同一个对角矩阵相似.


    答案：B
    解析：

  • 第16题：

    若A～B，则有( )。

    A.λE-A=λE-B
    B.|A|=|B|
    C.对于相同的特征值λ，矩阵A与B有相同的特征向量
    D.A与B均与同一个对角矩阵相似

    答案：B
    解析：

  • 第17题：

    设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

    A.A的n个特征值都是单值
    B.A是可逆矩阵
    C.A存在n个线性无关的特征向量
    D.A一定为n阶实对称矩阵

    答案：C
    解析：
    矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).

  • 第18题：

    设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=



    A.E
    B.-E
    C.A
    D.-A

    答案：A
    解析：

  • 第19题：

    若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）

    A.A与B相似
    B.
    C.A=B
    D.A与B不一定相似，但|A|=|B|


    答案：A
    解析：

  • 第20题：

    下列结论中正确的是（　　）。

    A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
    B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
    C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
    D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

    答案：C
    解析：
    A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



    中存在等于0的1阶子式。

  • 第21题：

    证明n阶矩阵与相似


    答案：
    解析：

  • 第22题：

    设A,B为同阶方阵, (1)若A,B相似,证明A,B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立


    答案：
    解析：

  • 第23题：

    设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得P-1AP=B，则称矩阵A与矩阵B（）。

    • A、等价
    • B、相似
    • C、合同
    • D、正交

    正确答案:B

  • 第24题：

    单选题
    设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得P-1AP=B，则称矩阵A与矩阵B（）。
    A

    等价

    B

    相似

    C

    合同

    D

    正交


    正确答案： B
    解析： 由相似矩阵的定义知B正确。故选B。

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