设矩阵，已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于A.2 B.3 C.4 D.5

矩阵的秩是该矩阵最高阶非零子式的阶数。

【证明】(Ⅰ)因为α，β为三维列向量，那么αα^T和ββ^T都是三阶矩阵，
且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.
那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.
(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是
r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.
【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.
(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).
(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.
注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：
因为

那么
从而r(A)≤2.

提示：显然，矩阵A的所有行都与第一行成比例，故秩等于1。

A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)

这是一道常见的基础题，由Aα=λα，α≠0知A^nα=λ^nα，那么对于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是实对称必有A～A，而A即是A的特征值，那么由r(A)=3，可知(D)正确