设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m B.r=m C.rD.r≥m

题目

设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().

A.r>m
B.r=m
C.rD.r≥m

相似考题

1.设A为m×n阶矩阵,则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是().A.r(A)=m B.r(A)=N C.A为可逆矩阵 D.r(A)=b且b可由A的列向量组线性表示

2.设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,则方程组BX=O与ABX=O同解的充分条件是().A.r(A)=s B.r(A)=m C.r(B)=s D.r(B)=n

3.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）A.r(A)=r(B)=m B.r(A)=m r(B)=n C.r(A)=n r(B)=m D.r(A)=r(B)=n

4.设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则

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第1题：

设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且

答案：
解析：
第2题：

设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.

答案：
解析：
第3题：

设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,

答案：
解析：
第4题：

设A,B为n阶矩阵,且r(A)+r(B)

答案：
解析：
第5题：

设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.

答案：
解析：
第6题：

设A为n×m矩阵,B为m×n矩阵(m>n),且AB=E.证明：B的列向量组线性无关.

答案：
解析：
【证明】首先r(B)≤min{m，n）=n，由AB=E得r(AB)=n，而，.(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，从而r(B)=n，于是B的列向量组线性无关.
第7题：

设A为m X n矩阵，且r(A)=m小于n，则下列结论正确的是

AA的任意m阶子式都不等于零
BA的任意m个子向量线性无关
C方程组AX=b一定有无数个解
D矩阵A经过初等行变换化为

答案：C
解析：
第8题：

设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于（）。

答案：D
解析：
第9题：

单选题
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。
A
r（A）＝m，r（B）＝m
B
r（A）＝m，r（B）＝n
C
r（A）＝n，r（B）＝m
D
r（A）＝n，r（B）＝n

正确答案： C
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。
第10题：

单选题
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
A
r＞r₁
B
r＜r₁
C
r＝r₁
D
r与r₁的关系依C而定

正确答案： A
解析：
由r₁＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC^－¹，故r＝r（BC^－¹）≤min[r（B），r（C^－¹）]＝r（B）＝r₁，所以有r＝r₁。
第11题：

填空题
设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.

正确答案： 0
解析：
取基本单位向量组为ε₁，ε₂，…ε_n
当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε₁，ε₂，…ε_n）=E_n也成立，即AE=0，故A=0．
当m>n时，取B=（ε₁，ε₂，…ε_n，B₁）=（E_n，B₁），则由AB=A（E_n，B₁）=0，知AE_n=0，故A=0．
第12题：

单选题
若A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则（　　）。
A
当m＞n时，ABX(→)＝0(→)必有非零解
B
当m＞n时，AB必可逆
C
当n＞m时，ABX(→)＝0(→)只有零解
D
当n＞m时，必有r（AB）＜m

正确答案： A
解析：
r（AB）≤r（A）≤n＜m，AB是m阶方阵，由于系数矩阵的秩小于未知数的个数，故ABX(→)＝0(→)有非零解。
第13题：

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，

答案：
解析：
第14题：

A,B为n阶矩阵且r(A)+r(B)

答案：
解析：
第15题：

设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.

答案：
解析：
第16题：

设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,

答案：
解析：
第17题：

设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r

答案：
解析：
第18题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则

A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n

答案：A
解析：
本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)
第19题：

设都是n(n≥3）阶非零矩阵，且AB=O，则r（B）=（）

A. 0
B.1
C. 2
D. 3

答案：B
解析：
第20题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）.《》（）

A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n

答案：A
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.
第21题：

问答题
设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。

正确答案：
因为A^m=E,所以,A^m,=,A,^m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A(~)=(A^*)^T,其中A^*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))^m=[(A^*)^T]^m=[(,A,A^-¹)^T]^m=[(A^-¹)^T]^m=[(A^m)^-¹]^T=E。
解析：暂无解析
第22题：

单选题
设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB＝0，则A＝（　　）。
A
0
B
1
C
2
D
3

正确答案： A
解析：
取基本单位向量组为ε(→)₁，ε(→)₂，…，ε(→)_n。
当m＝n时，由对任意B都有AB＝0，则对B＝（ε(→)₁，ε(→)₂，…，ε(→)_n）＝E_n也成立，即AE＝0，故A＝0。
当m＞n时，取B＝（ε(→)₁，ε(→)₂，…，ε(→)_n，B(→)₁）＝（E_n，B(→)₁），则由AB＝A（E_n，B(→)₁）＝0，知AE_n＝0，故A＝0。
第23题：

单选题
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
A
r＞r₁
B
r＜r_l
C
r＝r_l
D
r与r₁的关系依C而定

正确答案： A
解析：
由r₁＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC^－¹，故r＝r（BC^－¹）≤min[r（B），r（C^－¹）]＝r（B）＝r₁，所以有r＝r₁。

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设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m B.r=m C.rD.r≥m

题目

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