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设A,B是n阶方阵,且秩A=秩B,则A.秩(A-B)=0 B.秩(A+B)=2秩A C.秩(A-B)=2秩A D.秩(A+B)秩A+秩B

题目
设A,B是n阶方阵,且秩A=秩B,则

A.秩(A-B)=0
B.秩(A+B)=2秩A
C.秩(A-B)=2秩A
D.秩(A+B)秩A+秩B

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  • 第1题:

    设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r1,矩阵B=AC的秩为r,则



    答案:C
    解析:

  • 第2题:

    下列结论中正确的是(  )。

    A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
    B、 秩为r的矩阵中,所有r阶子式均不为零
    C、 若n阶方阵A的秩小于n,则该矩阵A的行列式必等于零
    D、 秩为r的矩阵中,不存在等于零的r-1阶子式

    答案:C
    解析:
    A项,矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项,由矩阵秩的定义可知,若矩阵A(m×n)中至少有一个r阶子式不等于零,且r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。即秩为r的矩阵中,至少有一个r阶子式不等于零,不必满足所有r阶子式均不为零。C项,矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩,n阶矩阵的秩为n时,所对应的行列式的值大于零;当n阶矩阵的秩<n时,所对应的行列式的值等于零。D项,秩为r的矩阵中,有可能存在等于零的r-1阶子式,如秩为2的矩阵



    中存在等于0的1阶子式。

  • 第3题:

    ,求一秩为2的3阶方阵B使AB=0


    答案:
    解析:

  • 第4题:

    设A为四阶实对称矩阵,且A^2+A=O.若A的秩为3,则A相似于


    答案:D
    解析:
    这是一道常见的基础题,由Aα=λα,α≠0知A^nα=λ^nα,那么对于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是实对称必有A~A,而A即是A的特征值,那么由r(A)=3,可知(D)正确

  • 第5题:

    设A、B分别为n×m,n×l矩阵,C为以A、B为子块的n×(m+l)矩阵,即C=(A,B),则( ).《》( )

    A.秩(C)=秩(A)
    B.秩(C)=秩(B)
    C.秩(C)与秩(A)或秩(C)与秩(B)不一定相等
    D.若秩(A)=秩(B)=r,则秩(C)=r

    答案:C
    解析:

  • 第6题:

    设3阶方阵A的秩R(A)=1,则A的伴随矩阵的秩R()等于().

    • A、3
    • B、2
    • C、1
    • D、0

    正确答案:D

  • 第7题:

    单选题
    设A、B都是满秩的n阶方阵,则r(AB)=(  )。
    A

    n-1

    B

    n

    C

    n+1

    D

    n+2


    正确答案: A
    解析:
    由行列式,|AB|=|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵,则有|AB|≠0,即矩阵AB满秩,故r(AB)=n。

  • 第8题:

    填空题
    设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=O的通解为____.

    正确答案: X=k(1,1…,1)T
    解析:
    由r(A)=n-1,知方程组AX=0的基础解系只含有n-(n-1)=1个解向量.又矩阵A的各行元素之和为0,知(1,1,…,1)T,为AX=0的非零解,则方程组AX=0的通解为X=k(1,1…,1)T

  • 第9题:

    单选题
    设3阶方阵A的秩R(A)=1,则A的伴随矩阵的秩R()等于().
    A

    3

    B

    2

    C

    1

    D

    0


    正确答案: B
    解析: 暂无解析

  • 第10题:

    单选题
    设A是5×6矩阵,则()正确。
    A

    若A中所有5阶子式均为0,则秩RA.=4

    B

    B.若秩R=4,则A中5阶子式均为0

    C

    C.若秩R=4,则A中4阶子式均不为0

    D

    D.若A中存在不为0的4阶子式,则秩R=4


    正确答案: C
    解析: 暂无解析

  • 第11题:

    单选题
    设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则(  )。
    A

    r>r1

    B

    r<rl

    C

    r=rl

    D

    r与r1的关系依C而定


    正确答案: A
    解析:
    由r1=r(B)≤min[r(A),r(C)]=r(A)=r。
    且A=BC1,故r=r(BC1)≤min[r(B),r(C1)]=r(B)=r1,所以有r=r1

  • 第12题:

    单选题
    下列结论中正确的是(    )
    A

    矩阵A的行秩与列秩可以不等

    B

    秩为r的矩阵中,所有r阶子式均不为零

    C

    若n阶方阵A的秩小于n,则该矩阵A的行列式必等于零

    D

    秩为r的矩阵中,不存在等于零的r-1阶子式


    正确答案: D
    解析:

  • 第13题:

    设A是S×6矩阵,则( )正确。

    A.若A中所有5阶子式均为0,则秩R(A)=4
    B.若秩R(A)=4,则A中5阶子式均为0
    C.若秩R(A)=4,则A中4阶子式均非0
    D.若A中存在不为0的4阶子式,则秩尺(A)=4

    答案:B
    解析:
    矩阵的秩是该矩阵最高阶非零子式的阶数。

  • 第14题:

    设矩阵是4阶非零矩阵, 且满足证明矩阵B的秩


    答案:
    解析:

  • 第15题:

    设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则



    A.A秩r(A)=m,秩r(B)=m
    B.秩r(A)=m,秩r(B)=n
    C.秩r(A)=n,秩r(B)=m
    D.秩r(A)=n,秩r(B)=n

    答案:A
    解析:
    本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵,知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A),r(B)),故m≤r(A),m≤r(B). ①另一方面,A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,又有r(A)≤m,r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m,r(B)=m.所以选(A)

  • 第16题:

    4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵An的秩为( )。

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3


    答案:A
    解析:
    提示:A所有三阶子式为零,故An是零矩阵。

  • 第17题:

    设A是5×6矩阵,则()正确。

    • A、若A中所有5阶子式均为0,则秩RA.=4
    • B、B.若秩R=4,则A中5阶子式均为0
    • C、C.若秩R=4,则A中4阶子式均不为0
    • D、D.若A中存在不为0的4阶子式,则秩R=4

    正确答案:B

  • 第18题:

    设A为n阶方阵,且|A|=a≠0,则|A*|等于()。

    • A、a
    • B、an-1
    • C、an

    正确答案:C

  • 第19题:

    问答题
    已知A=(aij),B=(bij)为两个n阶方阵。  X为n阶方阵。证明:AX=B有解的充要条件是n+1个矩阵A,A1,A2,…,An的秩相等。

    正确答案:
    (1)必要性
    设AX=B有解,令X()1,X()2,…,X()n是X的列向量,B()1,B()2,…,B()n是B的列向量。由AX=B有解知方程组AX()k=B()k(k=1,2,…,n)有解,于是有r(A)=r(A┆B()k)=r(Ak)(k=1,2,…,n),即A,A1,A2,…,An的秩相等。
    (2)充分性
    若A,A1,A2,…,An的秩都相等,则方程组AX()k=B()k有解。记其解为C()i(i=1,2,…,n),则AC=B(其中C是以Ci为列向量的矩阵),即C为AX=B的解,故AX=B有解。
    解析: 暂无解析

  • 第20题:

    填空题
    设A、B、C均为n阶方阵,若A=CTBC,且|B|<0,则|A|____。

    正确答案: ≤0
    解析:
    由行列式性质可知|A|=|CT|·|B|·|C|=|C|2·|B|≤0。

  • 第21题:

    单选题
    设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则(  )。
    A

    r>r1

    B

    r<r1

    C

    r=r1

    D

    r与r1的关系依C而定


    正确答案: A
    解析:
    由r1=r(B)≤min[r(A),r(C)]=r(A)=r。
    且A=BC1,故r=r(BC1)≤min[r(B),r(C1)]=r(B)=r1,所以有r=r1

  • 第22题:

    单选题
    设A、B都是满秩的n阶方阵,则r(AB)=(  )。
    A

    0

    B

    1

    C

    n-1

    D

    n


    正确答案: C
    解析:
    由行列式,|AB|=|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵,则有|AB|≠0,即矩阵AB满秩,故r(AB)=n。

  • 第23题:

    填空题
    设A、B都是满秩的n阶方阵,则r(AB)=____。

    正确答案: n
    解析:
    由行列式,|AB|=|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵,则有|AB|≠0,即矩阵AB满秩,故r(AB)=n。