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  • 第1题:

    设A是m×n矩阵,已知Ax=0只有零解,则以下结论正确的是( )

    A.m≥n B.Ax=b(其中b是m维实向量)必有唯一解

    C.r(A)=m D.Ax=0存在基础解系


    正确答案:A

  • 第2题:

    设A是m×n阶矩阵,则下列命题正确的是().

    A.若mB.若m>n,则方程组AX=b一定有唯一解
    C.若r(A)=n,则方程组AX=b一定有唯一解
    D.若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解

    答案:D
    解析:
    因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵),则r()=m,于是r(A)=r(),即方程组AX=b一定有解,选(D).

  • 第3题:

    若A是m×n矩阵,且m≠n,则当R(A)=n时,非齐次线性方程组AX=b,有唯一解


    答案:错
    解析:

  • 第4题:

    设A是m×n阶矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )。

    A.若Ax=0仅有零解,则Ax=b有惟一解
    B.若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多个解
    C.若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0仅有零解
    D.若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0有非零解

    答案:D
    解析:

  • 第5题:

    设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r,则Ax=0有非零解的充要条件为( )。

    A.r=n
    B.r<n
    C.r≥n
    D.r>n

    答案:B
    解析:
    Ax=0有非零解的充要条件为|A|=0,即矩阵A不是满秩的,r<n。

  • 第6题:

    设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r

    答案:
    解析:

  • 第7题:

    非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( ).

    A.r=m时,方程组AX=b有解
    B.r=n时,方程组AX=b有唯一解
    C.m=m时,方程组AX=b有唯一解
    D.r<n时,方程组AX=b有无穷多解

    答案:A
    解析:

  • 第8题:

    单选题
    设A是m×n矩阵,则m<n是齐次线性方程组ATAX(→)=0(→)有非零解的(  )。
    A

    必要条件

    B

    充分条件

    C

    充要条件

    D

    以上都不对


    正确答案: D
    解析:
    充分性:因r(ATA)≤r(A)≤m<n,其中n是ATA的阶数,即方程组ATAX()0()的未知数的个数,故方程组ATAX()0()有非零解;但不必要,因为当m≥n时,r(ATA)≤n≤m,此时方程组可能只有零解,也可能有非零解。

  • 第9题:

    单选题
    设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0,其中A、B均为m×n矩阵,现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则rA≥rB; ②若rA≥rB,则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③若Ax=0与Bx=0同解,则rA=rB; ④若rA=rB,则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是()。
    A

    ①②

    B

    ①③

    C

    ②④

    D

    ③④


    正确答案: B
    解析: 因为①中条件保证了n-r(A)≤n-r(B),所以r(A)≥r(B),而进一步易知③正确,而②、④均不能成立。

  • 第10题:

    单选题
    非齐次线性方程组AX(→)=b(→)中未知数个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则(  )。
    A

    r=m时,方程组AX()b()有解

    B

    r=n时,方程组AX()b()有唯一解

    C

    m=n时,方程组AX()b()有唯一解

    D

    r<n时,方程组AX()b()有无穷多解


    正确答案: A
    解析:
    A项,由于r=m,则方程组AX()b()的增广矩阵化为阶梯形矩阵时,阶梯形矩阵不为0的行数为m,r(A)=r(A(_))=m,所以AX()b()有解;
    B项,当r=n时,可知n≤m,当n<m时,则方程组AX()b()不一定只有唯一解;
    C项,当m=n时,r(A(_))不一定等于r,方程组不一定有解;
    D项,当r<n时,不能保证r(A)=r(A(_))=r,方程组AX()b()不一定有解。

  • 第11题:

    设A是m×N阶矩阵,B是n×m阶矩阵,则().


    A.当m>n时,线性齐次方程组ABX=0有非零解
    B.当m>n时,线性齐次方程组ABX=0只有零解
    C.当n>m时,线性齐次方程组ABX=0有非零解
    D.当n>m时,线性齐次方程组ABX=0只有零解


    答案:A
    解析:
    AB为m阶方阵,当m>n时,因为r(A)≤n,r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A),r(B)},所以r(AB)

  • 第12题:

    若A是m×n矩阵,且m≠n,则当R(A)=m时,非齐次线性方程组AX=b,有解


    答案:对
    解析:

  • 第13题:

    非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则

    A.r=m时,方程组A-6有解.
    B.r=n时,方程组Ax=b有唯一解.
    C.m=n时,方程组Ax=b有唯一解.
    D.r

    答案:A
    解析:
    因为A是m×n矩阵,若秩r(A)=m,则m=r(A)≤r(A,b)≤m.于是r(A)=r(A,b).故方程组有解,即应选(A).或,由r(A)=m,知A的行向量组线性无关,那么其延伸必线性无关,故增广矩阵(A,b)的m个行向量也是线性无关的,亦知r(A)=r(A,b).关于(B)、(D)不正确的原因是:由r(A)=n不能推导出r(A,b)=n(注意A是m×n矩阵,m可能大于n),由r(A)=r亦不能推导出r(A,b)=r,你能否各举一个简单的例子?至于(C),由克拉默法则,r(A)=n时才有唯一解,而现在的条件是r(A)=r,因此(C)不正确,

  • 第14题:

    设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均m×n矩阵,现有4个命题:
      ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B);
      ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;
      ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B);

      ④若秩(A)=秩(B)则Ax=0与Bx=0同解;

      以上命题中正确的是

    A.①②.
    B.①③.
    C.②④.
    D.③④,

    答案:B
    解析:
    显然命题④错误,因此排除(C)、(D).对于(A)与(B)其中必有一个正确,因此命题①必正确,那么②与③哪一个命题正确呢?由命题①,“若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B)”正确,知“若Bx=0的解均是Ax=0的解,则秩(B)≥秩(A)”正确,可见“若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B)”正确.即命题③正确,故应选(B).

  • 第15题:

    非齐线性方程组AX=b中未知量的个数为n,方程的个数为m,系数矩阵A的秩为r,则( )。

    A 当r=m时,方程组AX=b有解
    B 当r=n时,方程组AX=b有惟一解
    C 当m=n时,方程组AX=b有惟一解
    D 当r<n时,方程组AX=b有无穷多解

    答案:A
    解析:
    系数矩阵A是m×n矩阵,增个矩阵B是m×(n+1)矩阵当R(A)=r=m时,由于R(B)≥R(A)=m,而B仅有m行,故有R(B)≤m,从而R(B)=m,即R(A)=R(B),方程组有解

  • 第16题:

    若A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则( ).

    A.当m>n时ABX=0必有非零解
    B.当m>n时AB必可逆
    C.当n>m时ABX=0只有零解
    D.当n>m时必有r(AB)<m

    答案:A
    解析:
    r(AB)≤r(A)≤n<m,AB是m阶方阵,由于系数矩阵的秩小于未知数的个数,故ABX=0有非零解.

  • 第17题:

    设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0,其中A、B均为m×n矩阵,现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则rA≥rB; ②若rA≥rB,则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③若Ax=0与Bx=0同解,则rA=rB; ④若rA=rB,则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是()。

    • A、①②
    • B、①③
    • C、②④
    • D、③④

    正确答案:B

  • 第18题:

    填空题
    设A为n阶方阵,则n元齐次线性方程组AX(→)=0(→)仅有零解的充要条件是|A|____。

    正确答案: ≠0
    解析:
    依据齐次线性方程组性质可知,系数行列式|A|≠0时,方程组仅有零解。

  • 第19题:

    单选题
    若A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则(  )。
    A

    当m>n时,ABX()0()必有非零解

    B

    当m>n时,AB必可逆

    C

    当n>m时,ABX()0()只有零解

    D

    当n>m时,必有r(AB)<m


    正确答案: A
    解析:
    r(AB)≤r(A)≤n<m,AB是m阶方阵,由于系数矩阵的秩小于未知数的个数,故ABX()0()有非零解。

  • 第20题:

    单选题
    若A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则(  ).
    A

    当m>n时ABX=0必有非零解

    B

    当m>n时AB必可逆

    C

    当n>m时ABX=0只有零解

    D

    当n>m时必有r(AB)<m


    正确答案: C
    解析:
    r(AB)≤r(A)≤n<m,AB是m阶方阵,由于系数矩阵的秩小于未知数的个数,故ABX=0有非零解.