试用区间套定理证明: 直线上有界无限集至少有一个聚点.

用反证法 假设定理的结论不成立,即不能用 中有限个开区间来覆盖 [ a , b ] . 将 [ a , b ] 等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为 [ a 1 , b 1 ] ,则 [ a 1 , b 1 ] Ì [ a , b ] ,且 . 再将 [ a 1 , b 1 ] 等分为两个子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为 [ a 2 , b 2 ] ,则 [ a 2 , b 2 ] Ì [ a 1 , b 1 ] ,且 . 重复上述步骤并不断地进行下去,则得到一个闭区间列 {[ a n , b n ]} ,它满足 [a n+1 , b n+1 ] Ì [ a n , b n ] , n=1,2,... 即 {[ a n , b n ]} 是区间套,且其中每一个闭区间都不能用 H 中有限个开区间来覆盖 由区间套定理,存在唯一的一点 ξ ∈ [a n ,b n ],n=1,2,... 由于 H 是 [ a , b ] ,的一个开覆盖,故存在开区间 ( a , b )∈H ,使 ξ ∈( a , b ) .由定理 5 推论,当 充分大时有 {[a n ,b n ]} Ì ( a , b ) ,这表明 [a n ,b n ] 只须用 H 中的一个开区间 ( a , b ) 就能覆盖,与挑选 [a n ,b n ] 时的假设 “ 不能用 H 中有限个开区间来覆盖 ” 相矛盾.从而证得必存在属于 H 的有限个开区间能覆盖 [ a , b ] . 注 定理结论对开区间则不一定成立.即 不一定能选出有限个区间来覆盖。