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3、方阵A的属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
题目
3、方阵A的属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
相似考题
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第1题：
设A为n阶方阵，则A可对角化的充分必要条件是( ).
A. A有n个不同特征值
B.A有n个不同特征向量
C.A有n个线性元关的特征向量
D.IAI≠0。
参考答案：C
-
第2题：
n*n矩阵可看作是n维空间中的线性变换，矩阵的特征向量经过线性变换后，只是乘以某个常数(特征值)，因此，特征向量和特征值在应用中具有重要的作用。下面的矩阵(其中w1、w2、w3均为正整数)有特征向量(w1，w2，w3)，其对应的特征值为( )。
A．1／3
B．1
C．3
D．9
正确答案：C
解析：n*n矩阵可看做是n维空间中的线性变换，它将任何一个向量x变换成新的向量(A的矩阵与列向量x的乘积)。三维空间中的旋转变换就是一种线性变换，它将一个变量变换成另一个变量。旋转变换必然绕某个轴旋转，这个轴上的向量经过该旋转变换后得到的向量仍会保持在这根轴上。这根轴上的向量属于该旋转变换的特征向量。对于单纯的旋转变换来说，这根旋转轴上的特征向量所对应的特征值为1。线性变换A的特征向量Y及其相应的特征值λ满足AY=λY，其几何意义是特征向量Y经过线性变换A变换成向量λY(保持在同一轴上，只是乘以常数λ，放大或缩小入倍，λ为负时变为相反方向)。本题中的矩阵A以及由w1、w2、w3组成的列向量w具有关系(可以通过矩阵乘法得到)Aw=3w，所以，(w1、w2、w3)是该矩阵的特征向量，其相应的特征值为3。 -
第3题：
A.β是A的属于特征值0的特征向量
B.α是A的属于特征值0的特征向量
C.β是A的属于特征值2的特征向量
D.α是A的属于特征值2的特征向量答案：D解析：
-
第4题：
若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）
A.A与B相似
B.
C.A=B
D.A与B不一定相似，但|A|=|B|答案：A解析： -
第5题：
设A是3阶方阵，A能与对角阵相似的充分必要条件是( ).A.
B.A是实对称阵
C.A有3个线性无关的特征向量
D.A有3个不同的特征值答案：C解析： -
第6题：
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.
(1)证明α,Aα线性无关；
(2)若Aα^2+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化；答案：解析：
-
第7题：
已知三维列向量a，β满足aTβ，设3阶矩阵A=βaT，则:A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. a是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. a是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：提示 通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子Ax=λx，向量x 即为矩阵A对应特征值λ的特征向量。
再利用题目给出的条件：
aTβ=3 ①
A=βaT ②
将等式②两边均乘β，得A*β=βaT*β，变形Aβ=β(aTβ)，代入式①得Aβ=β*3，故Aβ=3*β成立。 -
第8题：
已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则（）。
- A、β是A的属于特征值0的特征向量
- B、α是A的属于特征值0的特征向量
- C、β是A的属于特征值3的特征向量
- D、α是A的属于特征值3的特征向量
正确答案:C -
第9题：
设列向量p=［1，-1，2］T是3阶方阵相应特征值λ的特征向量，则特征值λ等于（）．
- A、3
- B、5
- C、7
- D、不能确定
正确答案:B -
第10题：
单选题设A是三阶矩阵，α1=（1，0，1）T，α2=（1，1，0）T是A的属于特征值1的特征向量，α3=（0，1，2）T是A的属于特征值-1的特征向量，则：（）Aα1-α2是A的属于特征值1的特征向量
Bα1-α3是A的属于特征值1的特征向量
Cα1-α3是A的属于特征值2的特征向量
Dα1+α2+α3是A的属于特征值1的特征向量
正确答案： A解析： 暂无解析 -
第11题：
问答题证明： （1）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量，则α(→)1，α(→)2，…，α(→)r的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量。 （2）矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0。正确答案：
(1)因为α1,α2,…,αr是A的属于特征值λ的特征向量,则有Aαi=λαi(i=1,2,…,r)。设k1α1+k2α2+…+krαr是α1,α2,…,αr的任一非零线性组合,则
A(k1α1+k2α2+…+krαr)=k1Aα1+k2Aα2+…+krAαr=k1λα1+k2λα2+…+krλαr=λ(k1α1+k2α2+…+krαr)
由定义知k1α1+k2α2+…+krαr是A的属于特征值λ的特征向量。
(2)必要性
设矩阵A可逆,可知行列式,A,≠0。
由于,A,=λ1λ2…λn,故λi≠0(i=1,2,…,n)。
充分性
由矩阵A的特征值λi≠0(i=1,2,…,n),知,A,=λ1λ2…λn≠0,即矩阵A可逆。解析： 暂无解析 -
第12题：
问答题设有三个非零的n阶（n≥3）方阵A1、A2、A3，满足Ai2＝Ai（i＝1，2，3），且AiAj＝0（i≠j，i、j＝1，2，3），证明： （1）Ai（i＝1，2，3）的特征值有且仅有0和1； （2）Ai的对应于特征值1的特征向量是Aj的对应于特征值0的特征向量（i≠j）； （3）若α(→)1、α(→)2、α(→)3分别为A1、A2、A3的对应于特征值1的特征向量，则向量组α(→)1、α(→)2、α(→)3线性无关。正确答案：
(1)设λi为矩阵Ai的特征值,αi(αi≠0)是Ai的属于特征值λi的特征向量,则有λiαi=Aiαi=Ai2αi=λiAiαi=λi2αi,所以(λi-λi2)αi=0。
由αi≠0知λi-λi2=0,所以λi=0或1,即若Ai有特征值,则只能是0或1。
由Ai2=Ai得Ai(Ai-E)=0,因为AiAj=0(i≠j)且Ai≠0(i=1,2,3),所以Ai≠E,即Ai-E≠0。所以知Ai的列向量都是齐次线性方程组AiX=0的解,且AiX=0有非零解。
从而,Ai,=0,即,Ai-0E,=0。即0是Ai的特征值,同理可证1也是Ai的特征值。
(2)设Ai属于特征值1的特征向量为αi,则Aiαi=αi,AjAiαi=Ajαi(i≠j)。
因为AiAj=0(i≠j),所以AjAi=0,Ajαi=0αi,故Ai的属于特征值1的特征向量是Aj属于特征值0的特征向量。
(3)设有数k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0,即k1A1α1+k2A1α2+k3A1α3=0,根据(2)可知α2,α3应是A1的属于特征值0的特征向量,即A1α2=0,A1α3=0。
故有k1A1α1=k1·1·α1=k1α1=0,由α1≠0,故k1=0。同理可证k2=k3=0,因此α1、α2、α3线性无关。解析： 暂无解析 -
第13题：
阐述方阵的特征值和特征向量的定义。参考答案：设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值或本征值。式Ax=λx也可写成(A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式|A-λE|=0。特征向量是一个非简并的向量,在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值(本征值)。
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第14题：
A.β是A的属于特征值0的特征向量
B.α是A的属于特征值0的特征向量
C.β是A的属于特征值3的特征向量
D.α是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：
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第15题：
设A是n阶矩阵，且Ak=O(k为正整数)，则( )。A.A一定是零矩阵
B.A有不为0的特征值
C.A的特征值全为0
D.A有n个线性无关的特征向量答案：C解析：
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第16题：
已知三维列向量αβ满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则：A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. α是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. α是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子Ax=λx，向量x即为矩阵A对应特征值λ的特征向量。
再利用题目给出的条件：
αTβ=3 ①
A=βαT ②
将等式②两边均乘β，得辱A*β=βαT*β，变形Aβ=β（αTβ），代入式①得Aβ=β*3，故Aβ=3*β成立。 -
第17题：
设A是n阶矩阵,λ是A的特征值,其对应的特征向量为X,证明：λ^2是λ^3的特征值,X为特征向量,若A^2有特征值λ,其对应的特征向量为X,X是否一定为A的特征向量？说明理由.答案：解析：
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第18题：
设2阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A^2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=________.答案：1、-1解析：
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第19题：
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。
- A、α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
- B、α是矩阵的属于特征值的特征向量
- C、α是矩阵A*的属于特征值的特征向量
- D、α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案:D -
第20题：
设A是3阶方阵，A能与对角阵相似的充分必要条件是（）．
- A、存在可逆阵P，使得P-1AP=B
- B、A是实对称阵
- C、A有3个线性无关的特征向量
- D、A有3个不同的特征值
正确答案:C -
第21题：
单选题设A是3阶方阵，A能与对角阵相似的充分必要条件是（）．A存在可逆阵P，使得P-1AP=B
BA是实对称阵
CA有3个线性无关的特征向量
DA有3个不同的特征值
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第22题：
单选题设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。Aα是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
Bα是矩阵的属于特征值的特征向量
Cα是矩阵A*的属于特征值的特征向量
Dα是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第23题：
单选题已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则（）。Aβ是A的属于特征值0的特征向量
Bα是A的属于特征值0的特征向量
Cβ是A的属于特征值3的特征向量
Dα是A的属于特征值3的特征向量
正确答案： D解析： 暂无解析 -
第24题：
单选题设列向量p=［1，-1，2］T是3阶方阵相应特征值λ的特征向量，则特征值λ等于（）．A3
B5
C7
D不能确定
正确答案： C解析： 暂无解析