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已知向量a,b,c是三个具有公共起点的非零向量,且|a|=2|b|=2,又a·b=-1, 〈a-c,b-c 〉=π/3 ,则当|a-c|=7时,向量a与c的夹角是____.
题目
已知向量a,b,c是三个具有公共起点的非零向量,且|a|=2|b|=2,又a·b=-1, 〈a-c,b-c 〉=π/3 ,则当|a-c|=7时,向量a与c的夹角是____.
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参考答案和解析
参考答案π/3
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第1题：
已知｜a｜=1，｜b｜=6，a?(b-a)=2，则向量a与b的夹角是( ).
答案：C解析：
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第2题：
设向量α与向量β的夹角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，则模|α＋β|等于（ ）
答案：B解析：
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第3题：
向量α＝（2，1，－1），若向量β与α平行，且α·β＝3，则β为（ ）。A．（2，1，－1）
B．（3/2，3/4，－3/4）
C．（1，1/2，－1/2）
D．（1，－1，1/2）答案：C解析：由α//β，令β＝（2t，t，－t），则α·β＝2t×2＋t×1＋t＝3，解得：t＝1/2。 -
第4题：
设向量x垂直于向量a=(2，3，-1)和b=(1，-2，3)且与c=(2，-1，1)的数量积为-6，则向量x=( )。A.(-3，3，3)
B.(-3，1，1)
C.(0，6，0)
D.(0，3，-3)答案：A解析：由题意可得，x//a×b，而a×b=(2，3，-1)×(1，﹣2，3)=(7，﹣7，﹣7)=7(1，﹣1，﹣1)，所以x=(x，﹣x，﹣x)。再由-6=x·c=(x，-x，-x)·(2，-1，1)=2x得x=-3，所以x=(-3，3，3)。 -
第5题：
已知向量组α1=（3，2，-5）T，α2=（3，-1，3）T，，α4=（6，-2，6）T，则该向量组的一个极大无关组是（）。
- A、α2，α4
- B、α3，α4
- C、α1，α2
- D、α2，α3
正确答案:C -
第6题：
单选题已知向量a＝（2，4），b＝（m，－1），且a⊥b，则实数m＝（ ）．A2
B1
C－1
D－2
正确答案： D解析：
因为a⊥b，则a·b＝0，即2m＋4×（－1）＝0，解得m＝2． -
第7题：
单选题设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（ ）。A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价
D矩阵A＝（α1，α2，…，αm）与矩阵B＝（β1，β2，…，βm）等价
正确答案： D解析：
例如α1＝（1，0，0，0），α2＝（0，1，0，0），β1＝（0，0，1，0），β2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关。 -
第8题：
单选题已知向量组（α(→)1，α(→)3），（α(→)1，α(→)3，α(→)4），（α(→)2，α(→)3）都线性无关，而（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）线性相关，则向量组（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）的极大无关组是（ ）。A（α1，α2，α4）
B（α1，α3，α4）
C（α1，α2，α3）
D（α2，α3，α4）
正确答案： B解析：
向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组。 -
第9题：
填空题若向量X(→)与向量α(→)＝{2，－1，2}共线，且满足方程α(→)·X(→)＝－18，则X(→)＝____。正确答案： {-4,2,-4}解析：
由于向量X与向量α共线，则令X＝λα＝{2λ，－λ，2λ}。故α·X＝2λ·2＋（－λ）·（－1）＋2λ·2＝－18，解得λ＝－2，故X＝{－4，2，－4}。 -
第10题：
单选题设向量x垂直于向量a=（2，3，-1）和b=（1，-2，3），且与c=（2，-1，1）的数量积为-6，则向量x=（ ）。A（-3，3，3）
B（-3，1，1）
C（0，6，0）
D（0，3，-3）
正确答案： D解析：
由题意可得，x∥a×b，而a×b=（2，3，-1）×（1，-2，3）=（7，-7，-7）=7（1，-1，-1），所以x＝k（1，－1，－1）。再由x•c＝2k＋k－k＝2k＝-6，得k＝－3，所以x＝（－3，3，3）。 -
第11题：
设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.答案：解析：
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第12题：
已知向量a=(3，4)，向量b=(0，-2)，则cos(a，b)的值为( )
答案：B解析：【考情点拨】本题主要考查e-j知识点为向量的夹角． 【应试指导】求cos〈a，b〉，可直接套用公式
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第13题：
设α,β为四维非零列向量,且α⊥β,令A=αβ^T,则A的线性无关特征向量个数为().A.1
B.2
C.3
D.4答案：C解析：
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第14题：
设a，b为非零向量，且满足(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，则a与b的夹角θ=( )。A.0
B.
C.
D.
答案：C解析：
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第15题：
填空题已知四元非齐次方程组AX(→)＝b(→)，r（A）＝3，α(→)1，α(→)2，α(→)3是它的三个解向量，且α(→)1＋α(→)2＝（1，1，0，2）T，α(→)2＋α(→)3＝（l，0，1，3）T，则AX(→)＝b(→)的通解是____。正确答案： k(0,1,-1,-1)T+(1,1,0,2)T/2解析：
由Aα1＝b，Aα2＝b，故A[（α1＋α2）/2]＝b，则（α1＋α2）/2是方程组AX＝b的特解。又r（A）＝3，故四元齐次方程组AX＝b的基础解系只含有一个解向量。由α1，α3是AX＝b的解向量，知α1－α3是齐次方程组AX＝0的解，而α1－α3＝（α1＋α2）－（α2＋α3）＝（0，1，－1，－1）T，故AX＝b的通解为k（0，1，－1，－1）T＋（1，1，0，2）T/2。 -
第16题：
单选题下列说法不正确的是（ ）.As个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关
Bs个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关
Cs个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关.
Ds个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关.
正确答案： B解析：
A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的． -
第17题：
填空题已知向量组（α(→)1，α(→)3），（α(→)1，α(→)3，α(→)4），（α(→)2，α(→)3）都线性无关，而（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）线性相关，则向量组（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）的极大无关组是____。正确答案： (α1,α3,α4)解析：
向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组。 -
第18题：
单选题已知向量组α1=（3，2，-5）T，α2=（3，-1，3）T，，α4=（6，-2，6）T，则该向量组的一个极大无关组是（）。Aα2，α4
Bα3，α4
Cα1，α2
Dα2，α3
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第19题：
问答题设有三个非零的n阶（n≥3）方阵A1、A2、A3，满足Ai2＝Ai（i＝1，2，3），且AiAj＝0（i≠j，i、j＝1，2，3），证明： （1）Ai（i＝1，2，3）的特征值有且仅有0和1； （2）Ai的对应于特征值1的特征向量是Aj的对应于特征值0的特征向量（i≠j）； （3）若α(→)1、α(→)2、α(→)3分别为A1、A2、A3的对应于特征值1的特征向量，则向量组α(→)1、α(→)2、α(→)3线性无关。正确答案：
(1)设λi为矩阵Ai的特征值,αi(αi≠0)是Ai的属于特征值λi的特征向量,则有λiαi=Aiαi=Ai2αi=λiAiαi=λi2αi,所以(λi-λi2)αi=0。
由αi≠0知λi-λi2=0,所以λi=0或1,即若Ai有特征值,则只能是0或1。
由Ai2=Ai得Ai(Ai-E)=0,因为AiAj=0(i≠j)且Ai≠0(i=1,2,3),所以Ai≠E,即Ai-E≠0。所以知Ai的列向量都是齐次线性方程组AiX=0的解,且AiX=0有非零解。
从而,Ai,=0,即,Ai-0E,=0。即0是Ai的特征值,同理可证1也是Ai的特征值。
(2)设Ai属于特征值1的特征向量为αi,则Aiαi=αi,AjAiαi=Ajαi(i≠j)。
因为AiAj=0(i≠j),所以AjAi=0,Ajαi=0αi,故Ai的属于特征值1的特征向量是Aj属于特征值0的特征向量。
(3)设有数k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0,即k1A1α1+k2A1α2+k3A1α3=0,根据(2)可知α2,α3应是A1的属于特征值0的特征向量,即A1α2=0,A1α3=0。
故有k1A1α1=k1·1·α1=k1α1=0,由α1≠0,故k1=0。同理可证k2=k3=0,因此α1、α2、α3线性无关。解析： 暂无解析 -
第20题：
单选题n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。Aα1，α2，…，αs中没有零向量
B向量组的个数不大于维数，即s≤n
Cα1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
D某向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一
正确答案： B解析：
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。