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设A是4×5矩阵，ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列结论正确的是( ).A.ξ1-ξ2，ξ1+2ξ2也是Ax=0的基础解系 B.k1ξ1+k1ξ2是Ax=0的通解 C.k1ξ1+ξ2是Ax=0的通解 D.ξ1-ξ2，ξ2-ξ1也是Ax=0的基础解系

题目
设A是4×5矩阵，ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列结论正确的是( ).

A.ξ1-ξ2，ξ1+2ξ2也是Ax=0的基础解系
B.k1ξ1+k1ξ2是Ax=0的通解
C.k1ξ1+ξ2是Ax=0的通解
D.ξ1-ξ2，ξ2-ξ1也是Ax=0的基础解系
相似考题

1.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A、η1+η2是Ax=0的一个解B、(1/2)η1+(1/2)η2是Ax=b的一个解C、η1-η2是Ax=0的一个解D、2η1-η2是Ax=b的一个解

2.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1 B.2C.3 D.4

3.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ）A.m≥n B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解C.r（A）=m D.Ax=0存在基础解系

4.设A为n阶方阵,r(A)n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是()A、Ax=0只有零解B、Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C、Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D、Ax=0没有解

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  • 第1题：

    设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.


    正确答案：
    b

  • 第2题：

    若A是m×n矩阵，且m≠n，则当R（A）=n时，齐次线性方程组AX=0只有零解


    答案：对
    解析：

  • 第3题：

    设三阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是().

    A.矩阵A不可逆
    B.矩阵A的迹为零
    C.特征值-1,1对应的特征向量正交
    D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量

    答案：C
    解析：
    由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，则r(A)小于3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C).

  • 第4题：

    设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。

    A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有惟一解
    B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解
    C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解
    D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解

    答案：D
    解析：

  • 第5题：

    设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充要条件为（ ）。

    A.r=n
    B.r＜n
    C.r≥n
    D.r＞n

    答案：B
    解析：
    Ax=0有非零解的充要条件为｜A｜=0，即矩阵A不是满秩的，r＜n。

  • 第6题：

    设β1,β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1,a2是导出组Ax=0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax=b的通解是：


    答案：C
    解析：


    k1a1+k2(a1-a2)=k1a1+k2a1-k2a2=(k1+k2)a1-k2a2
    设任意常数k1+k2=c，-k2=c2，则：
    k1a1+k2(a1-a2)=c1a1+c2a2
    从而选项C满足线性方程Ax=b的条件。

  • 第7题：

    若非齐次线性方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是：

    A.AX=0仅有零解
    B.AX=0必有非零解
    C.AX=0 —定无解
    D.AX=b必有无穷多解

    答案：B
    解析：
    提示Ax=0必有非零解。
    解方程Ax=0时，对系数矩阵进行行的初等变换，必有一非零的r阶子式，而未知数的个数n，n>r，基础解系的向量个数为n-r，所以必有非零解。

  • 第8题：

    设A为矩阵，都是齐次线性方程组Ax=0的解，则矩阵A为( )。



    答案：D
    解析：
    提示：由于线性无关，故R(A)= 1，显然选项A中矩阵秩为3,选项B和C中矩阵秩都为2。

  • 第9题：

    若非齐次线性方程组Ax=b中方程个数少于未知量个数，则下列结论中正确的是（）。

    • A、Ax=0仅有零解
    • B、Ax=0必有非零解
    • C、Ax=0一定无解
    • D、Ax=b必有无穷多解

    正确答案:B

  • 第10题：

    单选题
    设A是4×6矩阵，则齐次线性方程组AX=0解的情况是（）。
    A

    无解

    B

    只有零解

    C

    有非零解

    D

    不一定


    正确答案： A
    解析： AX=0有非零解的充要条件是R（A）＜6，而4×6矩阵的秩R（A）≤4，故AX=0有非零解，故选（C）。

  • 第11题：

    设A为矩阵，都是线性方程组Ax=0的解，则矩阵A为：


    答案：D
    解析：
    提示：a1，a2是方程组Ax=0的两个线性无关的解，方程组含有3个未知量，帮矩阵A的秩R（A）=3-2=1，而选项A、B、C的秩分别为3、2、2，均不符合要求。将选项D代入

  • 第12题：

    若非齐次线性方程组AX=b中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是：

    A.AX=0仅有零解
    B.AX=0必有非零解
    C.AX=0—定无解
    D.AX=b必有无穷多解

    答案：B
    解析：
    提示：Ax=0必有非零解。
    ∵在解方程Ax=0时，对系数进行的初等变换，必有一非零的r阶子式，而未知数的个数 n，n>r， 基础解系的向量个数为n-r， ∴必有非零解。

  • 第13题：

    设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解，以上命题中正确的是

    A.① ②
    B.① ③
    C.② ④
    D.③ ④

    答案：B
    解析：

  • 第14题：

    设n阶矩阵A的伴随矩阵A^*≠0，若ζ1，ζ2，ζ3，ζ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系

    A.不存在.
    B.仅含一个非零解向量.
    C.含有两个线性无关的解向量.
    D.含有三个线性无关的解向量.

    答案：B
    解析：

  • 第15题：

    设β1，β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1、α2是导出组Ax=0的基础解系，k1,k2是任意常数，则Ax=b的通解是：


    答案：C
    解析：

  • 第16题：

    设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)为，(Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    设|A|=0，α1、α2、是线性方程组Aχ=0的一个基础解系，Aα3=α3≠0，则下列向量中不是矩阵A的特征向量的是( )。

    A、3α1+α2
    B、α1-3α2
    C、αl+3α3
    D、3α3

    答案：C
    解析：
    因为α1、α2是线性方程组Ax=0的一个基础解系，所以Aα1=Aα2=0。对于选项A有A(3α1+α2)=3Aα1+Aα2=0，所以是A的特征向量；同样选项B也是矩阵A的特征向量；对于选项D，由于Aa3=a3≠0，所以A(3a3)=3Aα3=3α3，故D也是矩阵A的特征向量；至于选项C,A(αl+3α3)，Aα1+3Aα3=3α3不能写成m(α1+3α3)的形式，所以C不是矩阵A的特征向量。

  • 第18题：

    设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB； ②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB； ④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是（）。

    • A、①②
    • B、①③
    • C、②④
    • D、③④

    正确答案:B

  • 第19题：

    设A是4×6矩阵，则齐次线性方程组AX=0解的情况是（）。

    • A、无解
    • B、只有零解
    • C、有非零解
    • D、不一定

    正确答案:C

  • 第20题：

    单选题
    设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB； ②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB； ④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是（）。
    A

    ①②

    B

    ①③

    C

    ②④

    D

    ③④


    正确答案： B
    解析： 因为①中条件保证了n-r（A）≤n-r（B），所以r（A）≥r（B），而进一步易知③正确，而②、④均不能成立。

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