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已知n阶实对称矩阵Α≈B，证明:对于任何自然数k,

题目
已知n阶实对称矩阵Α≈B，证明:对于任何自然数k,

相似考题

1.可对角化的矩阵是____。A.实对称阵B.有n个相异特征值的n阶阵C.有n个线性无关的特征向量的n阶方阵

2.设A是n阶实对称矩阵，则A有n个()特征值.

3.n阶正交矩阵的乘积是()矩阵。A、单位B、对称C、实D、正交

4.设A为n阶实对称矩阵,则().A.A的n个特征向量两两正交B.A的n个特征向量组成单位正交向量组C.A的k重特征值λ0,有r(λ0E-A)=n-kD.A的k重特征值λ。，有r(λ0E-A)=k

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  • 第1题：

    设A,B为,N阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是().

    A.r(A)=r（B）
    B.｜A｜=｜B｜
    C.A～B
    D.A,B与同一个实对称矩阵合同

    答案：D
    解析：
    因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同.反之，若A，B合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D).

  • 第2题：

    设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

    A.A的n个特征值都是单值
    B.A是可逆矩阵
    C.A存在n个线性无关的特征向量
    D.A一定为n阶实对称矩阵

    答案：C
    解析：
    矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).

  • 第3题：

    设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().

    A.可逆矩阵
    B.实对称矩阵
    C.正定矩阵
    D.正交矩阵

    答案：B
    解析：

  • 第4题：

    设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且


    答案：
    解析：

  • 第5题：

    设A为n阶对称矩阵，k为常数.试证kA仍为对称矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第6题：

    设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵


    答案：
    解析：

  • 第7题：

    证明；对任意的n阶矩阵A，为对称矩阵，而为反对称矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第8题：

    设A是n阶矩阵，E+A是可逆矩阵，记，若A按足条件，证明是反对称矩阵。


    答案：
    解析：


  • 第9题：

    设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第10题：

    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是（）。

    • A、所有k级子式为正（k=1，2，…，n）
    • B、A的所有特征值非负
    • C、秩（A）=n

    正确答案:A

  • 第11题：

    问答题
    已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。　　X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。

    正确答案：
    (1)必要性
    设AX=B有解,令X(→)1,X(→)2,…,X(→)n是X的列向量,B(→)1,B(→)2,…,B(→)n是B的列向量。由AX=B有解知方程组AX(→)k=B(→)k(k=1,2,…,n)有解,于是有r(A)=r(A┆B(→)k)=r(Ak)(k=1,2,…,n),即A,A1,A2,…,An的秩相等。
    (2)充分性
    若A,A1,A2,…,An的秩都相等,则方程组AX(→)k=B(→)k有解。记其解为C(→)i(i=1,2,…,n),则AC=B(其中C是以Ci为列向量的矩阵),即C为AX=B的解,故AX=B有解。
    解析： 暂无解析

  • 第12题：

    问答题
    已知A，B均是n阶矩阵，A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，证明AB=0。

    正确答案： 由（A+B.2=A2+AB+BA+B2=A+B+AB+BA=A+B，得AB+BA=0①。对①式分别用A左乘和右乘，并把A2=A代入得AB+ABA=0，ABA+BA=0，两式相减得AB-BA=0②。①+②得2AB=0，所以AB=0。
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设A是一个n阶矩阵，那么是对称矩阵的是（ ）.



    答案：A
    解析：

  • 第14题：

    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是( )。

    A.所有k级子式为正(k=1，2，…，n)
    B.A的所有特征值非负
    C.
    D.秩(A)=n

    答案：A
    解析：

  • 第15题：

    证明n阶矩阵与相似


    答案：
    解析：

  • 第16题：

    设A,B都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.AB=BA


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得A^k=O.证明：A不可以对角化.


    答案：
    解析：

  • 第19题：

    设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第20题：

    设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,


    答案：
    解析：

  • 第21题：

    已知A，B均是n阶矩阵，A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，证明AB=0。


    正确答案: 由（A+B.2=A2+AB+BA+B2=A+B+AB+BA=A+B，得AB+BA=0①。对①式分别用A左乘和右乘，并把A2=A代入得AB+ABA=0，ABA+BA=0，两式相减得AB-BA=0②。①+②得2AB=0，所以AB=0。

  • 第22题：

    单选题
    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是（）。
    A

    所有k级子式为正（k=1，2，…，n）

    B

    A的所有特征值非负

    C

    秩（A）=n


    正确答案： A
    解析： 暂无解析

  • 第23题：

    问答题
    设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证明A是对称矩阵。

    正确答案：
    设A的n个两两正交的特征向量为α(→)1,α(→)2,…,α(→)n,其对应的特征值依次为λ1,λ2,…,λn。
    令ξ(→)i=α(→)i/,α(→)i,(i=1,2,…,n),则ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n是两两正交的单位向量。
    记P=(ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n),即P是正交矩阵。从而有P-1=PT,P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Λ,即A=PΛP-1=PΛPT,故AT=(PΛPT)T=(PT)TΛTPT=PΛPT=A,即A是对称矩阵。
    解析： 暂无解析

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