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更多“设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明:方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.”相关问题
  • 第1题:

    设A,B都是N阶矩阵,且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().

    A.A,B合同
    B.A,B相似
    C.方程组AX=0与BX=0同解
    D.r(A)=r(B)

    答案:D
    解析:
    因为P可逆,所以r(A)=r(B),选(D).

  • 第2题:

    设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().

    A.r>m
    B.r=m
    C.rD.r≥m

    答案:C
    解析:
    显然AB为m阶矩阵,r(A)≤n,r(B)≤n,而r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤n小于m,所以选(C).

  • 第3题:

    设A是n阶矩阵,下列结论正确的是().

    A.A,=B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆
    B.r(A)}C.AX==与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)
    D.A~B的充分必要条件是λE-A~λE-B

    答案:D
    解析:

  • 第4题:

    设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,且AB=E,其中E为m阶单位矩阵,则( )


    A.r(A)=r(B)=m
    B.r(A)=m r(B)=n
    C.r(A)=n r(B)=m
    D.r(A)=r(B)=n

    答案:A
    解析:

  • 第5题:

    已知3阶矩阵A的第一行是不全为零,矩阵 (k为常数),且AB=0, 求线性方程组Ax=0的通解


    答案:
    解析:

  • 第6题:

    设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.


    答案:
    解析:

  • 第7题:

    设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r

    答案:
    解析:

  • 第8题:

    设A为m X n矩阵,且r(A)=m小于n,则下列结论正确的是

    AA的任意m阶子式都不等于零
    BA的任意m个子向量线性无关
    C方程组AX=b一定有无数个解
    D矩阵A经过初等行变换化为


    答案:C
    解析:

  • 第9题:

    问答题
    设AX=0与BX=0均为n元齐次线性方程组,秩r(A)=r(B),且方程组AX=0的解均为方程组BX=0的解,证明方程组AX=0与BX=0同解.

    正确答案:
    设r(A)=r(B)=r,方程组AX=0的基础解系为①:ζ12,…,ζn-r,方程组BX=0的基础解系为②:η12,…,ηn-r.
    构造向量组③:ζ12,…,ζn-r12,…,ηn-r.
    由向量组①可由②线性表示,则向量组②和③等价,从而r(③)=n-r,所以ζ12,…,ζn-r是向量组③的极大线性无关组,有η12,…,ηn-r可由ζ12,…,ζn-r线性表示,即BX=0的任一解都可由ζ12,…,ζn-r线性表示,故BX=0的解都是AX=0的解,所以方程组AX=0与BX=0同解.
    解析: 暂无解析

  • 第10题:

    单选题
    设A为3阶方阵,α(→)1,α(→)2,α(→)3是互不相同的3维列向量,且都不是方程组Ax(→)=0(→)的解,若B=(α(→)1,α(→)2,α(→)3)满足r(AB)<r(A),r(AB)<r(B),则r(AB)等于(  )。
    A

    3

    B

    2

    C

    1

    D

    0


    正确答案: C
    解析:
    由于α()1α()2α()3不是Ax()0()的解,故AB≠0,所以r(AB)>0。
    又因r(AB)<r(A),故B不可逆,即r(B)≤2,从而r(AB)<r(B)≤2,即r(AB)=1。

  • 第11题:

    单选题
    设矩阵Am×n的秩r(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵,下述结论正确的是(  )。
    A

    A的任意m个列向量必线性无关

    B

    A的任一个m阶子式不等于0

    C

    非齐次线性方程组AX()b()一定有无穷多组解

    D

    A通过行初等变换可化为(Em,0)


    正确答案: C
    解析:
    A项和B项,因r(A)=m,则A有m个列向量线性无关或A有m阶子式不为0,但不是任意的;C项,由r(A)=m<n,知方程组AX()b()中有n-m个自由未知数,故其有无穷多解;D项,矩阵A仅仅通过初等行变换是不能变换为矩阵(Em,0)的。

  • 第12题:

    设A是m×n阶矩阵,则下列命题正确的是().

    A.若mB.若m>n,则方程组AX=b一定有唯一解
    C.若r(A)=n,则方程组AX=b一定有唯一解
    D.若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解

    答案:D
    解析:
    因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵),则r()=m,于是r(A)=r(),即方程组AX=b一定有解,选(D).

  • 第13题:

    设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().

    A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
    B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
    C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
    D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解

    答案:D
    解析:

  • 第14题:

    设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,则方程组BX=O与ABX=O同解的充分条件是().

    A.r(A)=s
    B.r(A)=m
    C.r(B)=s
    D.r(B)=n

    答案:A
    解析:
    设r(A)=s,显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解,反之,若ABX=0,因为r(A)=s,所以方程组AY=0只有零解,故BX=0,即方程组BX=0与方程组ABX=0同解,选(A).

  • 第15题:

    设A,B是n阶矩阵,且B≠0,满足AB=0,则以下选项中错误的是:
    A.r(A)+r(B)≤n B. A =0 或 B =0 C. 0≤r(A)


    答案:D
    解析:
    提示:根据矩阵乘积秩的性质,AB=0,有r(A)+r(B)≤n成立,选项A正确。AB=0,取矩阵的行列式, A B =0, A =0或 B =0,选项B正确。又因为B≠0,B为非零矩阵, r(B)≥1,由上式r(A) + r(B)≤n,推出0≤r(A)

  • 第16题:

    设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明:B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,


    答案:
    解析:

  • 第17题:

    设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明:r(A)+r(B)≤n,


    答案:
    解析:

  • 第18题:

    设A=,E为三阶单位矩阵.
      (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系;
      (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.


    答案:
    解析:
    【分析】(Ⅰ)是基础题,化为行最简即可.
    关于(Ⅱ)中矩阵B,其实就是三个方程组的求解问题.
    【解】(Ⅰ)对矩阵A作初等行变换,得

  • 第19题:

    设A,B是n阶矩阵,且B≠0,满足AB=0,则以下选项中错误的是:
    A.r(A)+r(B)≤n B.

    A =0 或
    B =0
    C. 0≤r(
    D)

    答案:D
    解析:
    提示 根据矩阵乘积秩的性质,AB=0,有r(A)+r(B)≤n成立,选项A正确。AB=0,取矩阵的行列式, A B =0, A =0或 B =0,选项B正确。又因为B≠0,B为非零矩阵, r(B)≥1,由上式r(A) + r(B)≤n,推出0≤r(A)

  • 第20题:

    问答题
    设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx(→)=0(→)有解向量α,且Ak-1α(→)≠0(→),证明:向量组α(→),Aα(→),…,Ak-1α(→)是线性无关的。

    正确答案:
    根据定义可设l0α()+l1Aα()+…+lk-1Ak-1α()=0()
    当k≥2时,左乘Ak-1得到l0Ak-1α()+l1Akα()+…+lk-1A2k-2α()=0(),因为Akα()=0(),则l0Ak-1α()=0(),但Ak-1α()0(),则l0=0,l1Aα()+…+lk-1Ak-1α()=0()
    类似,依次左乘Ak-2,Ak-3,…,得到l1=…=lk-1=0,因此当k≥2时,α(),Aα(),…,Ak-1α()线性无关。
    当k=1时,Ak-1α()0(),则α()0(),向量α()线性无关。
    综上,向量组α(),Aα(),…,Ak-1α()是线性无关的。
    解析: 暂无解析

  • 第21题:

    单选题
    若A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则(  )。
    A

    当m>n时,ABX()0()必有非零解

    B

    当m>n时,AB必可逆

    C

    当n>m时,ABX()0()只有零解

    D

    当n>m时,必有r(AB)<m


    正确答案: A
    解析:
    r(AB)≤r(A)≤n<m,AB是m阶方阵,由于系数矩阵的秩小于未知数的个数,故ABX()0()有非零解。