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设A,B是n阶正交矩阵，且|A|=-|B|，则|A+B|=0
题目
设A,B是n阶正交矩阵，且|A|=-|B|，则|A+B|=0
相似考题
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第1题：
设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是().A.若A,B可逆,则A+B可逆
B.若A,B可逆,则AB可逆
C.若A+B可逆,则A-B可逆
D.若A+B可逆,则A,B都可逆答案：B解析：若A，B可逆，则|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，选(B). -
第2题：
设A,B都是,n阶矩阵,其中B是非零矩阵,且AB=O,则().A.r(B)=n
B.r(B)C.A2-Bz=(A+B)(A-B)
D.｜A｜=0答案：D解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)小于n，于是|A|=0，选(D). -
第3题：
设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().A.可逆矩阵
B.实对称矩阵
C.正定矩阵
D.正交矩阵答案：B解析：
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第4题：
设A为n阶矩阵,且｜A｜=0,
≠0,则AX=0的通解为_______.答案：解析：
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第5题：
设A=图},B≠0为三阶矩阵,且BA=0,则r(B)=_______.{答案：1、1解析：BA=0
r(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠0，所以r(B)=1. -
第6题：
设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.答案：解析：
-
第7题：
设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.答案：解析：
-
第8题：
设A，B，A+B，A-1+ B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+ B-1)-1=( )。A、A-1+ B-1
B、A+B
C、A(A+B) -1 B
D、(A+B) -1答案：C解析：
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第9题：
填空题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。正确答案： -1解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第10题：
填空题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。正确答案： -(A+E)/2解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第11题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A－2
B－1
C0
D1
正确答案： A解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第12题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A4
B2
C－1
D1
正确答案： B解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第13题：
设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m
B.r=m
C.rD.r≥m 答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C). -
第14题：
设A,B皆为n阶矩阵,则下列结论正确的是().A.AB=O的充分必要条件是A=O或B-O
B.AB≠O的充分必要条件是A≠0且B≠0
C.AB=O且r(A)=N,则B=O
D.若AB≠0,则｜A｜≠0或｜B｜≠0答案：C解析：
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第15题：
设A，B是n阶矩阵，且B≠0，满足AB=0，则以下选项中错误的是：
答案：D解析：解根据矩阵乘积秩的性质，AB=0，有r(A)+r(B)≤n成立，选项A正确。AB =0，
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第16题：
设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.答案：解析：
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第17题：
设
，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=________.答案：1、-3.解析：由AB=0，对B按列分块有AB=A(β1，β2，β3)=(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=(0,0,0)，即β1，β2，β3是齐次方程组Ax=0的解，又因B≠0，故Ax=0有非零解，那么
若熟悉公式：AB=0，则r(A)+r(B)≤n.可知r(A)<3.亦可求出t=-3.
【评注】对于AB=O要有B的每个列向量都是齐次方程组Ax=0的构思，还要有秩r(A)+r(B)≤n的知识. -
第18题：
设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.答案：解析：
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第19题：
设
都是n(n≥3）阶非零矩阵，且AB=O，则r（B）=（ ）A. 0
B.1
C. 2
D. 3答案：B解析：
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第20题：
设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得P-1AP=B，则称矩阵A与矩阵B（）。
- A、等价
- B、相似
- C、合同
- D、正交
正确答案:B -
第21题：
单选题设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得P-1AP=B，则称矩阵A与矩阵B（）。A等价
B相似
C合同
D正交
正确答案： B解析： 由相似矩阵的定义知B正确。故选B。 -
第22题：
填空题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.正确答案： 0解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…εn
当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε1，ε2，…εn）=En也成立，即AE=0，故A=0．
当m>n时，取B=（ε1，ε2，…εn，B1）=（En，B1），则由AB=A（En，B1）=0，知AEn=0，故A=0． -
第23题：
问答题设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证明A是对称矩阵。正确答案：
设A的n个两两正交的特征向量为α1,α2,…,αn,其对应的特征值依次为λ1,λ2,…,λn。
令ξi=αi/,αi,(i=1,2,…,n),则ξ1,ξ2,…,ξn是两两正交的单位向量。
记P=(ξ1,ξ2,…,ξn),即P是正交矩阵。从而有P-1=PT,P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Λ,即A=PΛP-1=PΛPT,故AT=(PΛPT)T=(PT)TΛTPT=PΛPT=A,即A是对称矩阵。解析： 暂无解析 -
第24题：
填空题A、B都是n阶矩阵，且A≠0，AB＝0，则|B|＝____。正确答案： 0解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX＝0的解，则r（A）＋r（B）≤n；又A≠0，故r（A）≠0，知r（B）＜n，所以|B|＝0。